一、基本概念和知识

　　1.质数与合数

　　一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

　　一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

　　要特别记住：1不是质数，也不是合数。

　　2.质因数与分解质因数

　　如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

　　把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

　　例：把30分解质因数。

　　解：30＝2×3×5。

　　其中2、3、5叫做30的质因数。

　　又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

二、例题

例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

　　解：∵210=2×3×5×7

　　∴可知这三个数是5、6和7。

例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？

　　解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：

　　40=17+23=11＋29=3+37。

　　∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。

　　∴所求的最大值是391。

　　答：这两个质数的最大乘积是391。

例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？

　　解：123456789是合数。

　　因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。

例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

　　解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。

　　如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。

　　综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。

例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

　　解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，

　　这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14

　　（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。

　　这样14×15=210=5×6×7。

　　这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

分析 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。

　　解：42560=26×5×7×19

　　＝25×（5×7）×（19×2）

　　＝32×35×38（合题意）

　　要求的三个自然数分别是32、35和38。

例7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，

　　a×c＝10.求a×b×c是多少？

　　解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。

　　（a×b）×（b×c）×（a×c）

　　=（2×3）×（3×5）×（2×5）

　　∴a2×b2×c2=22×32×52

　　∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2

　　a×b×c=2×3×5＝30

　　在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。

　　如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.

　　下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。

　　例如：把下列各完全平方数分解质因数：

　　9，36，144，1600，275625。

　　解：9=32 36=22×32 144=32×24

　　1600=26×52 275625=32×54×72

　　可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。

　　反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。

　　如上例中，36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。

例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

分析 ∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

　　∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

　　解：∵1080×a=23×33×5×a，

　　又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

　　∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。

　　∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

　　答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

例9 问360共有多少个约数？

分析 360=23×32×5。

　　为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5的所有约数。

　　解：记5的约数个数为Y1，

　　32×5的约数个数为Y2，

　　360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：

　　Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，

　　显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。

　　因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

　　所以360共有24个约数。

　　说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝23×32×5中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23×32×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5中质因数5的个数加1.因此

　　Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

　　对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

　　一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

例10 求240的约数的个数。

　　解：∵240＝24×31×51，

　　∴240的约数的个数是

　　（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

　　∴240有20个约数。

　　请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？