例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？

　　解：我们先把5040分解质因数

　　5040＝2⁴×3²×5×7.

　　再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：

　　2⁴×3²×5×7＝7×8×9×10.

　　所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.

　　利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.

　　我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.

　　因为24＝2³×3，所以24的约数是2³的约数（1，2，2²，2³）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.

　　1×1，1×3，2×1，2×3，2²×1，2²×3，2³×1，2³×3.

　　这里有4×2＝8个，即 （3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝2³×3中的2³，有（3＋1）种选择：1，2，2²，2³，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.

　　这个方法，可以运用到一般情形，例如，

　　144＝2⁴×3².

　　因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.

　　例11 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.

　　解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.

　　（1）2⁷＝128，符合要求，

　　3⁷＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.

　　（2）2³＝8，

　　8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.

　　3³＝27；

　　只有27×5＝135符合要求.

　　5³＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.

　　利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如

　　720＝2⁴×3²×5，168＝2³×3×7.

　　那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是2³，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是

　　2³×3＝ 24.

　　在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是

　　2⁴×3²×5×7＝5040.

　　例12 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？

　　解：180＝2²×3²×5，

　　30＝2×3×5.

　　对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从2²与2就知道，一数中含2²，另一数中含2；从3²与3就知道，一数中含3²，另一数中含3，从一数是

　　90＝2×3²×5.

　　就知道另一数是

　　2²×3×5＝60.

　　还有一种解法：

　　另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找

　　30， 60， 90， 120，….

　　这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.

　　例13 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？

　　解：把420分解质因数

　　420＝2×2×3×5×7.

　　为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是

　　1，3，4，5，7，12，15，20.

　　分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是

　　两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.

　　例13实质上是把420分解成两个互质的整数.

　　利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.