例20 有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？

　　解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：

　　从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为

　　1998＝ 8×249＋ 6，

　　所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.

　　一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.

　　这十二个数构成一个循环.

　　按照七天一轮计算天数是

　　日，一，二，三，四，五，六.

　　这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数

　　0， 1， 2， 3， 4， 5， 6

　　的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.

　　循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.

　　下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：

　　甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.

　　例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.

　　1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.

　　例 21 19¹⁹⁹⁷被7除余几？

　　解：从上面的结论知道，19¹⁹⁹⁷被7除的余数与2¹⁹⁹⁷被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.

　　先写出一列数

　　2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，

　　2×2×2×2＝16，….

　　然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：

　　事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）

　　从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.

　　1997＝ 3× 665 ＋ 2.

　　就知道2¹⁹⁹⁷被7除的余数，与2¹⁹⁹⁷ 被 7除的余数相同，这个余数是4.

　　再看一个稍复杂的例子.

　　例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：

　　0，1，3，8，21，55，….

　　问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？

　　解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：

　　3＝1×3-0，

　　8=3×3-1，

　　21=8×3-3，

　　55=21×3-8，

　　……

　　不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：

　　将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.

　　用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：

　　注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.

　　从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.

　　70 ＝12×5+10.

　　因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.

　　在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：

　　“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：

　　一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.